Question

14．已知傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，M（4，2）是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出斜率，從而得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，再求離心率．

解答 解：∵傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，
∴直線的斜率k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，①；
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，②，
①-②得$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{a}^{2}}$=$\frac{{（y}_{1}{-y}_{2}）{（y}_{1}{+y}_{2}）}{^{2}}$，
則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∵M(jìn)（4，2）是AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
∵直線l的斜率為$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{8}{4}$，
即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則b²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
c²=a²+b²=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）a²，
∴e²=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）²．
則e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用“設(shè)而不求”法結(jié)合點(diǎn)差法以及求直線l的斜率解決本題的關(guān)鍵．