Question

3．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E為AB的中點(diǎn)，將四邊形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF，過(guò)E作EF∥AD，
（1）若G為DF的中點(diǎn)，求證：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，試求多面體AD-BCFE體積．

Answer 1

分析 （1）翻折前，有直角梯形的性質(zhì)可知四邊形AEFD是矩形，得出DF，F(xiàn)C的長(zhǎng)，翻折后，取DC的中點(diǎn)H，連接GH，BH，則可證四邊形EGHB是平行四邊形，得出EG∥BH，故EG∥面BCD；
（2）將多面體分解成四棱錐B-AEFD和三棱錐D-BCF，分別計(jì)算兩個(gè)棱錐的體積．

解答 證明：（1）在直角梯形ABCD中，
∵E是AB中點(diǎn)，∴AE=EB=$\frac{1}{2}AB=1$，
∵EF∥AD，AD⊥AB，AB∥DC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴DF=AE=1，CF=CD-DF=2．
翻折后，取DC的中點(diǎn)H，連接GH，BH，
則$GH∥FC，GH=\frac{1}{2}FC$=1，
∵EB=1，EB∥CF，
∴GH=EB，且GH∥EB，
∴四邊形EGHB為平行四邊形，
∴EG∥BH，∵BH?面BDC，EG?平面BCD，
∴EG∥面BDC．
（2）平面ADEF⊥平面BEFC，平面ADEF∩平面BEFC=EF，BE⊥EF，DF⊥EF，
∴BE⊥平面AEFD，DF⊥平面BCFE，
∴V_B-AEFD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形AEFD}•BE$=$\frac{1}{3}×1×2×1=\frac{2}{3}$，
V_D-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•DF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$，
∴幾何體AD-BCFE的體積V=V_B-AEFD+V_D-BCF=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．