Question

4．若圓（x-2）²+y²=1與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-{y}^{2}=1$（a＞0）的漸近線相切，則a=$\sqrt{3}$；雙曲線C的漸近線方程是y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心和半徑，運用直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得a，進而得到漸近線方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-{y}^{2}=1$（a＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{1}{a}$x，
圓（x-2）²+y²=1的圓心為（2，0），半徑為1，
由直線和圓相切，可得$\frac{2}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故答案為：$\sqrt{3}$，y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程和圓與漸近線相切，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．