Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0，a、b為常數(shù)）滿足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有兩相等實(shí)根．
（1）在區(qū)間x∈[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．
（2）是否存在實(shí)數(shù)m和n（m＜n ），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x），得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，又方程f（x）=x有兩相等實(shí)根，即ax²+（b-1）x=0有兩相等實(shí)根，利用△=0可得關(guān)于a，b的方程，由此可求出a，b的值．區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上恒為正，借助二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可求參數(shù)．
（2）借助函數(shù)的單調(diào)性確定出函數(shù)在[m，n]上的單調(diào)性，找到區(qū)間中那個(gè)自變量的函數(shù)值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，說(shuō)明存在，否則不存在．

解答： 解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的對(duì)稱軸為x=1，
即-

b

2a

=1
即b=-2a．
∵f（x）=x有兩相等實(shí)根，∴ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有等根0，
∴b=1，a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x
在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，
即-

1

2

x2+x＞2x+m在區(qū)間[-1，1]上恒成立
即x²+2x+2m＜0在區(qū)間[-1，1]上恒成立
故有

1-2+2m＜0 1+2+2m＜0

，
解得m＜-

3

2

，
∴當(dāng)m＜-

3

2

時(shí)，在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方．
（2）f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

   故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

  又函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調(diào)遞增
則有

f(m)=3m f(n)=3n

  解得

m=0 n=0

或

m=-4 n=-4

，
又m＜n，
∴m=-4，n=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)考查綜合利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象轉(zhuǎn)化解題，屬于難題．