已知數(shù)列滿足，．
（1）求的值，由此猜測的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：．

（1）猜想，證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系，依次附值即可得到的取值，進(jìn)而作出猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）先化簡，進(jìn)而采用放縮法得到，進(jìn)而將取1，2，3，……，時的不等式相乘即可證明不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，確定該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而得到在恒成立，從而可得即，問題得以證明.
（1）令可知，，
猜想，下用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）時，顯然成立；
（2）假設(shè)時，命題成立.即.
當(dāng)時，由題可知.
故時，命題也成立.
由（1）（2）可知，.
（2）證明：∵


∴
由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即
所以.
考點(diǎn)：1.數(shù)學(xué)歸納法；2.數(shù)列不等式的證明——放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法等.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則                     ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足
（1）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)、、；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明對于任意的整數(shù)有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足，且.
（1）試求出的值；
（2）根據(jù)的值猜想出關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知實(shí)數(shù)，且按某種順序排列成等差數(shù)列．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差都為，等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都為，數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，且，求滿足條件的自然數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列，滿足，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）求證：當(dāng)時，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，（其中為正常數(shù)）。設(shè)。
（1）歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列；
（2）若=1，求的值；
（3）若=4，試證明：當(dāng)時，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的通項(xiàng)，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）判斷數(shù)列的增減性,并說明理由；
（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

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