Question

設函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當時，．

Answer 1

（1）時，在上是增函數(shù)；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），（3）詳見解析

解析試題分析：（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，首先明確定義域，再求導，由于含有參數(shù)，需分類討論根的情況. 時，，所以在上是增函數(shù)．當時，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）本題考查函數(shù)與方程思想，實際研究直線與函數(shù)圖像交點有兩個的情況，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以當時，方程有兩解．（3）本題關鍵在于構(gòu)造函數(shù)，首先將兩變量分離，這要用到取對數(shù)，即因此只需證，即證為單調(diào)減函數(shù)，可利用導數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論，可證.
試題解析：（1）．
①時，，∴在上是增函數(shù)．         1分
②當時，由，由，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.           4分
（2）當時，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，              6分
∴．
∴當時，方程有兩解．            8分
（3）∵.∴要證：只需證
只需證：．
設，                               10分
則．
由（1）知在單調(diào)遞減，           12分
∴，即是減函數(shù)，而．
∴，故原不等式成立．                         14分
考點：利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)證不等式