Question

1．園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為r米圓心角為θ（弧度）的扇形景觀水池，其中O為扇形AOB的圓心，同時(shí)緊貼水池周邊建一圈理想的無寬度步道，要求總預(yù)算費(fèi)用不超過24萬元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1000元．
（1）當(dāng)r和θ分別為多少時(shí)，可使廣場面積最大，并求出最大值；
（2）若要求步道長為105米，則可設(shè)計(jì)出水池最大面積是多少．

Answer 1

分析 （1）求出扇形的面積，得到關(guān)于θ，r的不等式，利用基本不等式求出廣場面積的最大值；
（2）根據(jù)θ與r的關(guān)系式求出r的取值范圍，利用二次函數(shù)計(jì)算水池面積S的最大值．

解答 解：（1）由題意，扇形的弧長AB為l=θr，
扇形的面積為$S=\frac{1}{2}θ{r^2}$，
由題意$400×\frac{1}{2}θ{r^2}+1000（2r+θr）≤24×{10^4}$；
化簡得θr²+5（2r+θr）≤1200（*）；
又$θr+2r≥2\sqrt{2θ{r^2}}$，
所以θr²+10$\sqrt{2{θr}^{2}}$≤1200；
設(shè)$t=\sqrt{2θ{r^2}}$，t＞0，
則$\frac{{t}^{2}}{2}$+10t≤1200，
解得-60≤t≤40，
所以當(dāng)θr=2r=40時(shí)，面積$S=\frac{1}{2}θ{r^2}$的最大值為400；
（2）由題意，θr+2r=105，
解得θ=$\frac{105}{r}$-2＜2π；
把θr=105-2r代入（*）可得（105-2r）r+5×105≤1200，
化簡得2r²-105r+675≥0，
解得r≤$\frac{15}{2}$或r≥45，
又S=$\frac{1}{2}$θr²
=$\frac{1}{2}$（105-2r）r
=-r²+$\frac{105}{2}$r
=-${（r-\frac{105}{4}）}^{2}$+$\frac{{105}^{2}}{16}$，
當(dāng)r≤$\frac{15}{2}$時(shí)，θ=$\frac{105}{r}$-2≥$\frac{105}{\frac{15}{2}}$-2=12＞2π，
與θ＜2π不符，
所以S（θ）在[45，+∞）上單調(diào)減，
當(dāng)r=45時(shí)，S取得最大值為337.5平方米，
此時(shí)$θ=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查了扇形的面積，考查了配方法的運(yùn)用以及最值的計(jì)算問題，是綜合題．