Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，有下列四個(gè)命題：
①?x₁，x₂∈R⁺，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
②?x₁，x₂∈R⁺，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
③?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＜$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}c6quimq$；
④?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＞$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}g2wocqq$．
其中的真命題是（　�。�

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性和凸凹性，進(jìn)而逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=1-lnx，則g′（x）=$-\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，則f′（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）為凸函數(shù)，且為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）為凸函數(shù)，且為減函數(shù)；
故?x₁，x₂∈R⁺，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，即②正確，①錯(cuò)誤；
?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＞$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}qcemski$，?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＜$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}2mceqq8$，故③錯(cuò)誤，④正確；
故真命題是②④，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的單調(diào)性和凸凹性，難度中檔．