Question

2．已知f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2015π），求則函數(shù)f（x）的各極小值之和為-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$．

Answer 1

分析 先求f′（x）=2e^xsinx，這樣即可得到f（2π），f（4π），f（6π），…，f（2014π）為f（x）的極小值，并且構(gòu)成以-e^2π為首項(xiàng)，e^2π為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求f（x）的各極小值之和即可．

解答 解：f′（x）=2e^xsinx；
x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，f′（x）＜0，其中0≤k≤1007，且k∈N^*；
∴f（2kπ）=-e^2kπ是f（x）的極小值；
∴函數(shù)f（x）的各極小值之和為-（e^2π+e^4π+e^6π+…+e^2012π+e^2014π）=-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$，
故答案為：-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查極大值的定義，正弦、余弦，和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，以及等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．