Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差為d，已知S₂，S₃+1，S₄成等差數(shù)列．
（1）求公差d的值；
（2）若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列
①求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n；
②求$\frac{2{a}_{n}-1}{2{S}_{n}}$（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和求和公式，可得d=2；
（2）①運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，及等差數(shù)列的通項公式，解得首項為1，可得通項公式，再由裂項相消求和，可得所求和；②求得$\frac{2{a}_{n}-1}{2{S}_{n}}$=$\frac{4n-1}{2{n}^{2}}$，配方為二次函數(shù)的形式，由最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由S₂，S₃+1，S₄成等差數(shù)列，
可得2（S₃+1）=S₂+S₄，
即為2（3a₁+3d+1）=（2a₁+d）+（4a₁+6d），
解得d=2；
（2）①a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
可得a₂²=a₁a₅，即為（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
化為d²=2a₁d，由d=2，解得a₁=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n項和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
②$\frac{2{a}_{n}-1}{2{S}_{n}}$=$\frac{4n-1}{2•\frac{1}{2}（1+2n-1）n}$=$\frac{4n-1}{2{n}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1}{2}$[-（$\frac{1}{n}$-2）²+4]，
當$\frac{1}{n}$=2即n=$\frac{1}{2}$不為自然數(shù)，
當n=1時，取得最大值，且為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．