Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)．f（1）=-$\frac{5}{4}$，對(duì)?x∈R，有f′（x）≤-e（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²lnx-$\frac{5}{4}$x²的解集是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²lnx+$\frac{5}{4}$x²，
則g′（x）=f′（x）-xlnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$x=f′（x）-xlnx+2x，
設(shè)h（x）=2x-xlnx，則h′（x）=2-lnx-1=1-lnx，
由h′（x）＞0得0＜x＜e，
由h′（x）＜0得x＞e，
即當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值同時(shí)也是最大值h（e）=2e-e=e，
∵f′（x）≤-e，h（x）≤e，
∴f′（x）+h（x）≤-e+e=0，
即g′（x）=f′（x）-xlnx+2x≤0，
即g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
則當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=f（1）+$\frac{5}{4}$=-$\frac{5}{4}$+$\frac{5}{4}$=0，
則不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²lnx-$\frac{5}{4}$x²等價(jià)為g（x）＜0，即g（x）＜g（1），
則x＞1，
即不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²lnx-$\frac{5}{4}$x²的解集是（1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．