Question

10．對于實(shí)數(shù)x和y，定義運(yùn)算?：x?y=x（1-y），若對任意x＞1，不等式（x-m）?x≤1都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，3]
• B． （-∞，3]
• C． （-∞，-1]∪[3，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)x＞1時，f（x）=（x-m）（x-1）+1的最小值大于或等于0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可得當(dāng)x＞1時，不等式（x-m）?x=（x-m）（1-x）≤1 恒成立，
即（x-m）（x-1）+1≥0 恒成立，故函數(shù)f（x）=（x-m）（x-1）+1=x²-（m+1）x+m+1 的最小值大于或等于0．
由于函數(shù)y的對稱軸為x=$\frac{m+1}{2}$，
當(dāng)$\frac{m+1}{2}$≥1時，即m≥1時，f（x）的最小值為$\frac{4（m+1）{-（m+1）}^{2}}{4}$≥0，求得1≤m≤3．
當(dāng)$\frac{m+1}{2}$＜1時，即m＜1時，f（x）的最小值為f（1）=1＞0．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，3]，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查新定義，分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．