Question

14．設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$，若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．
（Ⅰ）求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；
（Ⅱ）求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法概率公式能求出他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率．
（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$，
∴他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率：
p=$\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$．
（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，
P（X=2）=（$\frac{2}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{9}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=4）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{10}{81}$，
P（X=5）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{81}$，
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{8}{81}$

∴EX=$2×\frac{5}{9}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{10}{81}+5×\frac{8}{81}$=$\frac{224}{81}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．