Question

20．已知曲線y=$\frac{1}{x}$和y=x²它們交于點(diǎn)P，過P點(diǎn)的兩條切線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)．求△ABP的面積．

Answer 1

分析 聯(lián)立兩曲線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)P（1，1），把x=1分別代入兩曲線的導(dǎo)函數(shù)中求兩切線的斜率，從而寫出過點(diǎn)P的兩條切線方程，然后根據(jù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法分別求出A、B的坐標(biāo)可確定出三角形的底與高，利用三角形的面積公式即可求出．

解答 解：聯(lián)立兩曲線方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x}\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，
所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
求出兩曲線的導(dǎo)函數(shù)為y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$和y′=2x，把x=1分別代入兩個導(dǎo)函數(shù)得到過p點(diǎn)切線的斜率分別為：k₁=-1，k₂=2×1=2，
則兩曲線在P點(diǎn)的切線方程分別為：y-1=-1（x-1）即x+y-2=0；y-1=2（x-1）即2x-y-1=0
因為A、B是兩切線與x軸的交點(diǎn)，所以令y=0，得到A（2，0），B（$\frac{1}{2}$，0），
則s_△ABP=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{2}$|×1=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 此題是把函數(shù)與方程綜合在一起的題型，要求學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，以及會根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程，會求直線與x軸的截距．