Question

2．正項數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）
（1）求a₁和a₂的值；    
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求證：$\frac{1}{{2{S_1}}}+\frac{1}{{3{S_2}}}+…+\frac{1}{{（{n+1}）{S_n}}}$＜2（1-$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$），（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）通過在表達式S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）中令n=1、2計算即得結論；
（2）通過求出數(shù)列{a_n}的前幾項，利用數(shù)學歸納法證明即可；
（3）利用基本不等式，通過數(shù)學歸納法證明即可．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$），
∴a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得：a₁=1或a₁=-1（舍），
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
即1+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍），
綜上，a₁=1、a₂=$\sqrt{2}$-1；    
（2）數(shù)列{a_n}的通項a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然成立；
②假設當n=k（k≥2）時成立，a_k=$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，
則a_k+1=S_k+1-S_k
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$[$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$+（$\sqrt{k}$+$\sqrt{k-1}$）]
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\sqrt{k}$，
∴${{a}_{k+1}}^{2}$+2$\sqrt{k}$•a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$或a_k+1=-$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$（舍），
∴a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，即當n=k+1時命題也成立；
由①、②可知：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（3）證明：∵a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
∴S_n=$\sqrt{n}$，
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然$\frac{1}{2{S}_{1}}$=$\frac{1}{2}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）=2-$\sqrt{2}$成立；
②假設當n=k時，有$\frac{1}{2{S}_{1}}$+$\frac{1}{3{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{（k+1）{S}_{k}}$＜2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）成立，
兩邊同時加上$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$，得：$\frac{1}{2{S}_{1}}$+$\frac{1}{3{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{（k+1）{S}_{k}}$+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$＜2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$，
∵2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$=2（1-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$
=2-[$\frac{2}{\sqrt{k+1}}$-$\frac{1}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$]
=2-$\frac{2k+3}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$
=2-$\frac{（k+2）+（k+1）}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$，
又∵$\frac{（k+2）+（k+1）}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$+$\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}$
≥2•$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{k+1}}•\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}}$=2•$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$，
當且僅當$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}$時取等號，
而$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$≠$\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}$，
故$\frac{（k+2）+（k+1）}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$＞2•$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$，
∴2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$＜2-2•$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$=2（1-$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$）=2（1-$\frac{1}{{S}_{k+2}}$），
即當n=k+1時，命題也成立；
由①、②可知：$\frac{1}{{2{S_1}}}+\frac{1}{{3{S_2}}}+…+\frac{1}{{（{n+1}）{S_n}}}$＜2（1-$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$），（n∈N^*）．

點評 本題是一道關于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，考查數(shù)學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．