Question

16．已知直線l：y=kx+b與拋物線x²=2py（常數(shù)p＞0）相交于不同的兩點A、B，線段AB的中點為D，與直線l：y=kx+b平行的切線的切點為C．分別過A、B作拋物線的切線交于點E，則關(guān)于點C、D、E三點橫坐標(biāo)x_c、x_D，x_E的表述正確的是（　�。�

• A． x_D＜x_C＜x_E
• B． x_C=x_D＞x_E
• C． x_D=x_c＜x_E
• D． x_C=x_D=x_E

Answer 1

分析 設(shè)A$（{x}_{1}，\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}）$，B$（{x}_{2}，\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}）$．直線方程與拋物線方程聯(lián)立，化為：x²-2pkx-2pb=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得x_D．對拋物線x²=2py兩邊求導(dǎo)可得：y′=$\frac{x}{p}$．可得切線方程，進而得到交點E的橫坐標(biāo)，由題意可得：k=$\frac{{x}_{C}}{p}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A$（{x}_{1}，\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}）$，B$（{x}_{2}，\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，化為：x²-2pkx-2pb=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=2pk，
可得x_D=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=pk．
對拋物線x²=2py兩邊求導(dǎo)可得：y′=$\frac{x}{p}$．
可得經(jīng)過點A的切線方程：y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁），
經(jīng)過點B的切線方程：y-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂），
聯(lián)立解得x_E=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x_D．
經(jīng)過點C的切線的斜率為$\frac{{x}_{C}}{p}$，
由題意可得：k=$\frac{{x}_{C}}{p}$，∴x_C=pk．
綜上可得：x_C=x_E=x_D．
故選：D．

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交相切問題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．