Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{4}$=1，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點，A、B為橢圓的左、右頂點，點P為橢圓上異于A、B的動點，且直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，試問：在x軸上是否存在兩個定點，使得這兩個定點到直線l的距離之積為4？若存在，求出兩個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用斜率計算公式可得a，即可得出；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+p，代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-8=0，由于直線l與橢圓C有且只有一個公共點，可得△=0，即4+8k²=p²．設(shè)x軸上存在兩個定點（s，0），（t，0），使得這兩個定點到直線l的距離之積為4，利用點到直線的距離公式可得：（st+4）k+p（s+t）=0（*），或（st+12）k²+（s+t）kp+8=0 （**）分別利用k，p的系數(shù)為即可得出．當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為$x=±\sqrt{2}$時，即可得出．

解答 解：（1）A（-a，0），B（a，0），
設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，
∵$\frac{{{y_0}^{\;}}}{{{x_0}+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=-\frac{1}{2}$，得a²=8，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）①當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+p，
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-8=0，
∵直線l與橢圓C有且只有一個公共點，
∴△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-8）=8（4+8k²-p²）=0，即4+8k²=p²．
設(shè)x軸上存在兩個定點（s，0），（t，0），使得這兩個定點到直線l的距離之積為4，
則$\frac{|ks+p|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{|kt+p|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{k^2}st+kp（s+t）+{p^2}|}}{{{k^2}+1}}=4$，
即 （st+4）k+p（s+t）=0（*），或（st+12）k²+（s+t）kp+8=0 （**）
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}st+4=0\\ s+t=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}s=2\\ t=-2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}s=-2\\ t=2\end{array}\right.$，
（**）不恒成立．
②當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為$x=±\sqrt{2}$時，
定點F₁（-2，0）、F₂（2，0）到直線l的距離之積$（2\sqrt{2}-2）（2\sqrt{2}+2）=4$．
綜上，存在兩個定點（2，0）、（-2，0），使得這兩個定點到直線l 的距離之積為定值4．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為△=0、點到直線的距離公式、恒成立問題的轉(zhuǎn)化解決問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．