Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（3）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=2a₁-2，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，由此能證明數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，由點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，得b_n-b_n+1+2=0，由此能求出b_n=2n-1．
（3）由c_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
又當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ，
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（3）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．