Question

18．廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂(lè)發(fā)展的產(chǎn)物，其兼具文化性和社會(huì)性，是精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要指標(biāo)和象征．2015年某高校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)廣場(chǎng)舞的開(kāi)展?fàn)顩r進(jìn)行了年齡的調(diào)查，隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者，將他們年齡分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）估計(jì)在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)；
（2）求40名廣場(chǎng)舞者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值；
（3）若從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者中任取2名，
①求這2名廣場(chǎng)舞者年齡不都在[20，30）的概率；
②求這兩名廣場(chǎng)舞者中年齡在[30，40）的人數(shù)X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出年齡分布在[40，70）的頻率，由此能求出估計(jì)在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．
（2）設(shè)40名廣場(chǎng)舞者年齡的中位數(shù)為x，則0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x-50）=0.5，由此能求出中位數(shù)的估計(jì)值為55．利用頻率分布直方圖能求出40名廣場(chǎng)舞者年齡的平均數(shù)的估計(jì)值．（3）①由頻率分布直方圖求出年齡在[20，30）的廣場(chǎng)舞者有2人，年齡在[30，40）的廣場(chǎng)舞者有4人，從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者中任取2名，由此能求出這2名廣場(chǎng)舞者年齡不都在[20，30）的概率．
②這兩名廣場(chǎng)舞者中年齡在[30，40）的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得到年齡分布在[40，70）的頻率為：
（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，
∴估計(jì)在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)為：
40×0.75=30（名）．
（2）設(shè)40名廣場(chǎng)舞者年齡的中位數(shù)為x，
則0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x-50）=0.5，
解得x=55，即中位數(shù)的估計(jì)值為55．
40名廣場(chǎng)舞者年齡的平均數(shù)的估計(jì)值：
$\overline{x}$=0.005×10×25+0.010×10×35+0.020×10×45+0.030×10×55+0.025×10×65+0.010×10×75=54．
（3）①由頻率分布直方圖得年齡在[20，30）的廣場(chǎng)舞者有0.005×10×40=2人，
年齡在[30，40）的廣場(chǎng)舞者有0.01×10×40=4人，
從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者中任取2名，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，這2名廣場(chǎng)舞者年齡不都在[20，30）包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=8，
∴這2名廣場(chǎng)舞者年齡不都在[20，30）的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{8}{15}$．
②這兩名廣場(chǎng)舞者中年齡在[30，40）的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{6}{15}$

∴EX=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{6}{15}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．