Question

8．已知（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且n是偶數，則a₀+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{3}$a₂+$\frac{1}{4}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n-1+$\frac{1}{n+1}$a_n=$\frac{1}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 由（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且n是偶數，可得∫（2x-1）ⁿdx=a₀x+$\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}{a}_{n}{x}^{n+1}$，化簡整理，取x=1即可得出．

解答 解：∵（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且n是偶數，
∴∫（2x-1）ⁿdx=a₀x+$\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}{a}_{n}{x}^{n+1}$，
即$\frac{1}{2（n+1）}$（2x-1）ⁿ⁺¹+C=a₀x+$\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}{a}_{n}{x}^{n+1}$，
令x=1，C=0，可得：a₀+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{3}$a₂+$\frac{1}{4}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n-1+$\frac{1}{n+1}$a_n=$\frac{1}{2（n+1）}$，
故答案為：$\frac{1}{2（n+1）}$．

點評 本題考查了二項式定理的應用、微積分基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．