Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+x-1，g（x）=x³-ax（a＜0），若對?x₁∈[1，2]，?x₂∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由于對?x₁∈[1，2]，?x₂∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x₂）成立，等價于$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$的最大值不大于g（x₂）的最大值，即3≤8-2a，從而求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+x-1，
∴對?x₁∈[1，2]，$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$=x₁+1≤3，
∵g（x）=x³-ax（a＜0），
∴g（x）單調(diào)遞增
∴g（x₂）＞8-2a，
由于對任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x₂）成立，等價于∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$的最大值不大于g（x₂）的最大值，即3≤27-3a，
∴a≤8
故a的取值范圍是（-∞，8]

點評 本題考查函數(shù)的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最值比較大�。�