Question

7．已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)C₂：（x-4）²+y²=1上，點(diǎn)R在曲線(xiàn)C₃：（x+4）²+y²=1上，則|PQ|+|PR|的最大值是12．

Answer 1

分析 曲線(xiàn)C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的兩焦點(diǎn)恰為曲線(xiàn)C₂：（x-4）²+y²=1上，曲線(xiàn)C₃：（x+4）²+y²=1上，的圓心坐標(biāo)．設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PR|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，同理：|PQ|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，從而可求|PQ|+|PR|的最大值．

解答 解：橢圓C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的兩焦點(diǎn)為（-4，0），（4，0），
恰為兩圓（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．橢圓左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PR|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，
同理：|PQ|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，
∴|PQ|+|PR|的最小為|PF₁|+|PF₂|-2=2×5-2=8，最大為|PF₁|+|PF₂|+2=2×5+2=12．
故|PQ|+|PR|的最大值為12，
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合，考查線(xiàn)段和的取值范圍問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的兩焦點(diǎn)恰為兩圓（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．