Question

18．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是B₁B，BC的中點(diǎn)，
（1）證明：EF∥A₁D；
（2）證明：A₁E，AB，DF三線共點(diǎn)；
（3）問：線段CD上是否存在一點(diǎn)G，使得直線FG與平面A₁EC₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若存在，請指出點(diǎn)G的位置，說明理由；若沒有，也請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接EF，B₁C，利用中位線證明EF∥A₁D．
（2）說明A₁E，DF共面．設(shè)A₁E∩DF=P，證明點(diǎn)P在面ABCD與面AA₁B₁B的公共直線AB上，即可證明A₁E，AB，DF三線共點(diǎn)．
（3）AA₁，AB，AD兩兩垂直，以AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系求出$\overrightarrow{{A_1}E}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（2，2，0）$，假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，設(shè)G（a，2，0），a∈（0，2）求出平面A₁EC₁的法向量，然后設(shè)直線FG與平面A₁EC₁的平面角為θ，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （1）證明：連接EF，B₁C，由E，F(xiàn)分別是B₁B，BC的中點(diǎn)，得
EF$\underline{\underline∥}$$\frac{1}{2}{B_1}C$，又B₁C$\underline{\underline∥}$A₁D，∴EF∥A₁D…..2分
（2）證明：EF∥A₁D且EF≠A₁D，∴A₁E，DF共面．∴設(shè)A₁E∩DF=P，則P∈A₁E，而A₁E?面AA₁B₁B，∴P∈面AA₁B₁B；
同理可得∴P∈面ABCD，∴點(diǎn)P在面ABCD與面AA₁B₁B的公共直線AB上，
即A₁E，AB，DF三線共點(diǎn)．…4分
（3）解：根據(jù)題意可知，AA₁，AB，AD兩兩垂直，以AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：A₁（0，0，2），E（2，0，1），C₁（2，2，2），F(xiàn)（2，1，0），故$\overrightarrow{{A_1}E}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（2，2，0）$．…6分
假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，設(shè)G（a，2，0），a∈（0，2）則$\overrightarrow{FG}=（a-2，1，0）$
設(shè)平面A₁EC₁的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，則由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m⊥\overrightarrow{{A_1}E}\\ \overrightarrow m⊥\overrightarrow{{A_1}{C_1}}\end{array}\right.$，得，$\left\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ 2x+2y=0\end{array}\right.$…8分

不妨取z=2，則x=1，y=-1．
所以平面A₁EC₁的一個法向量為$\overrightarrow m=（1，-1，2）$…10分
設(shè)直線FG與平面A₁EC₁的平面角為θ，則$sinθ=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{FG}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{FG}}}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{FG}|}}}|=|{\frac{（a-2）×1+（-1）×1+2×0}{{\sqrt{{{（a-2）}^2}+{1^2}+{0^2}}×\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}+{2^2}}}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
得 a=1．….13分
故線段CD上存在點(diǎn)G，使得直線FG與平面A₁EC₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，G 是線段CD的中點(diǎn)．…14分．

點(diǎn)評 本題考查三點(diǎn)共線，直線與直線的平行的判斷，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．