Question

14．已知拋物線的頂點在原點，焦點F在x軸正半軸上，且過點P（2，2），過F的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l是拋物線的準(zhǔn)線，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線方程為：y²=2px，代入點P（2，2），即可求拋物線的方程；
（2）從A和B分別作準(zhǔn)線的垂線AM，BN，垂足M、N，取AB中點Q，作QH⊥準(zhǔn)線 l，H為垂足，結(jié)合中位線的定義與拋物線的定義可得答案．

解答 （1）解：設(shè)拋物線方程為：y²=2px，
代入點P（2，2），可得2²=4p，∴p=1，∴y²=2x．
（2）證明：從A和B分別作準(zhǔn)線的垂線AM，BN，垂足M、N，
取AB中點Q，作QH⊥準(zhǔn)線 l，H為垂足，根據(jù)拋物線定義，|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，|AM|+|BN|=|AB|，
QH是梯形AMNB的中位線，|QH|=$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
若以|AB|為直徑作圓，則|HQ|是其半徑，無論AB位置如何變換，|QH|始終為$\frac{1}{2}$|AB|，且QH⊥準(zhǔn)線l，
∴以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系的判定．