Question

4．已知函數(shù)f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．
（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）此函數(shù)圖象可由函數(shù)y=cosx圖象怎樣變換得到？

Answer 1

分析 （1）由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）=sin（3x+$\frac{3π}{2}$）=sin（3x-$\frac{π}{2}$），
令3x-$\frac{π}{2}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
令3x-$\frac{π}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為 x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{2}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
故f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（3）把函數(shù)y=cosx=sin（x+$\frac{π}{2}$）的圖象向右平移π個(gè)單位，可得y=sin（x-$\frac{π}{2}$）的圖象；
再把所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{3}$倍，可得y=sin（3x-$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．