Question

10．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，最大值為3，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的解析式；
（3）若f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{7}{5}$，求sinθ．

Answer 1

分析 （1）由圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，利用正弦函數的圖象和性質即可得解?（x）的最小正周期．
（2）由已知可求A，利用周期公式可求ω，進而可求2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，k∈Z，即φ=kπ-$\frac{π}{6}$，結合范圍$-\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$，可求φ，從而可求f（x）的解析式．
（3）由已知利用誘導公式可求$cosθ=\frac{1}{5}$，從而利用同角三角函數基本關系式可求sinθ．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
∴?（x）的最小正周期T=π．…（4分）
（2）∵最大值為3，
∴A+1=3，
∴A=2．
由（1）知?（x）的最小正周期T=π，∴ω=2．
又∵f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，k∈Z，則φ=kπ-$\frac{π}{6}$．
又∵$-\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$．
∴函數f（x）的解析式為$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．…（8分）
（3）∵$f（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）=2sin[2（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}]+1=2sin（θ+\frac{π}{2}）+1=2cosθ+1=\frac{7}{5}$，
∴$cosθ=\frac{1}{5}$，
∴$sinθ=±\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=±\sqrt{1-{{（\frac{1}{5}）}^2}}=±\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦函數的圖象和性質，三角函數周期公式，誘導公式，同角三角函數基本關系式，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．