Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+m（其中ω＞0，m∈R），且函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是$\frac{π}{6}$，并過點(diǎn)（0，2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x₀）=$\frac{11}{5}$，x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)，由題意，函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是$\frac{π}{6}$，說明當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時函數(shù)取得最大值，并過點(diǎn)（0，2）．帶入即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將x=x₀帶入函數(shù)f（x）=$\frac{11}{5}$，x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，求解x₀的值，在根據(jù)二倍角求解cos2x₀的值．（也可以采用構(gòu)造角的關(guān)系求解）

解答 解：（1）$f（x）=1+cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx+m=2sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）+m+1$
∵f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，
∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=1
又∵f（x）的圖象過點(diǎn)（0，2），∴f（0）=2，即 2sin$\frac{π}{6}$+m+1=2，
解得 m=0，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
（2）由$f（{x_0}）=\frac{11}{5}$，得2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{11}{5}$，即sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}$≤2x₀+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-{{sin}^2}（2{x_0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$•cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$×（-$\frac{4}{5}$）+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用能力和化簡能力，對角的靈活運(yùn)用和變形處理的技巧．屬于中檔題．