Question

已知函數(shù)f（x）=3+log₂^x，x∈[1，16]，若函數(shù)g（x）=[f（x）]²+2f（x²）．
（1）求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）求函數(shù)g（x）的最值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）要使函數(shù)g（x）的解析式有意義，則

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，解得函數(shù)g（x）的定義域；
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，則t∈[0，2]，y=g（x）=（t+5）²-10，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)g（x）的最值．

解答： 解：（1）要使函數(shù)g（x）的解析式有意義，
則

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，
解得x∈[1，4]，
故函數(shù)g（x）的定義域為[1，4]，
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，
則t∈[0，2]，
y=g（x）=[f（x）]²+2f（x²）=（3+log₂x）²+2（3+log₂x²）=（log₂x+5）²-10=（t+5）²-10，
由函數(shù)y=（t+5）²-10的圖象是開口朝上且以直線t=-5為對稱軸的拋物線，
故函數(shù)y=（t+5）²-10在[0，2]上單調(diào)遞增，
故當t=0時，y=g（x）取最小值15，
當t=2，y=g（x）取最大值39，

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值，難度中檔．