Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，D（1，$\frac{3}{2}$）是橢圓C上一點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B分別是橢圓C的左、右頂點，P，Q是橢圓C上異于A，B的兩個動點，直線AP，AQ的斜率之積為-$\frac{1}{4}$．
①設(shè)△APQ與△BPQ的面積分別為S₁，S₂，請問：是否存在常數(shù)λ（λ∈R）．得S₁=λS₂恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；
②求直線AP與BQ的交點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y²=4x的焦點重合，可得焦點F（1，0），可得c=1，1=a²-b²．由于D（1，$\frac{3}{2}$）是橢圓C上一點，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1．聯(lián)立解出即可．
（2）①A（-2，0），B（2，0）．當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，由根與系數(shù)的關(guān)系及其$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{1}{4}$，可得2k²+km-m²=0，點A到直線PQ的距離d₁，點B到直線PQ的距離d₂，利用$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{obzrpho_{1}}{dhsiejq_{2}}$，即可得出．當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，同樣得出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=3．
②設(shè)直線AP的斜率為k，則直線BQ的斜率為$\frac{1}{-4k}$，直線AP的方程為：y=k（x+2），直線BQ的方程為：y=-$\frac{1}{4k}（x-2）$，消去k即可得出．

解答 解：（1）由拋物線y²=4x的焦點重合，可得焦點F（1，0），∴c=1，1=a²-b²．
∵D（1，$\frac{3}{2}$）是橢圓C上一點，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1．
把a²=1+b²代入上式可得：$\frac{1}{1+^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，解得b²=3．
∴a²=4．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①A（-2，0），B（2，0）．
當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△＞0，可得m²＜3+4k²．
x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
又$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{1}{4}$，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴4k²x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0，
∴（4k²+1）x₁x₂+（4km+2）（x₁+x₂）+4+4m²=0，
∴$\frac{（4{k}^{2}+1）（4{m}^{2}-12）}{（3+4{k}^{2}）}$+$\frac{（4km+2）（-8km）}{3+4{k}^{2}}$+4+4m²=0，
化為2k²+km-m²=0，
∴2k=m或k=-m．滿足△＞0．
點A到直線PQ的距離d₁=$\frac{|-2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
點B到直線PQ的距離d₂=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}|PQ|c752779_{1}}{\frac{1}{2}|PQ|mboxclq_{2}}$=$\frac{ro7yhbt_{1}}{jteudtp_{2}}$=$\frac{|2k-m|}{|2k+m|}$，
把k=-m代入可得：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=3．
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，x₁=x₂，y₂=-y₁，
∴k_APk_AQ=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$-\frac{1}{4}$，
化為2y₁=±（x₁+2）．
代入橢圓方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=±\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，x₁=-2舍去．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=3．
綜上可得：存在常數(shù)λ=3．得S₁=3S₂恒成立．
②設(shè)直線AP的斜率為k，則直線BQ的斜率為$\frac{1}{-4k}$，
直線AP的方程為：y=k（x+2），
直線BQ的方程為：y=-$\frac{1}{4k}（x-2）$，
消去k可得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，即為直線AP與BQ的交點M的軌跡方程．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、三角形面積計算公式、直線的交點等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．