Question

20．已知cosx=-$\frac{3}{5}$，x∈（${\frac{π}{2}$，π）．
（Ⅰ）求$sin（x+\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）求$sin（{2x+\frac{π}{6}}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinx的值，進而利用兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用倍角公式可求sin2x，cos2x的值，進而利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosx=-\frac{3}{5}，x∈（{-\frac{π}{2}，π}），\\∴sinx=\frac{4}{5}…（2分）$
$\begin{array}{l}∴sin（{x+\frac{π}{3}}）\\=sinxcos\frac{π}{3}+cosxsin\frac{π}{3}…（4分）\\=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}-\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\=\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}…（6分）\end{array}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cosx=-\frac{3}{5}，sinx=\frac{4}{5}$，
$\begin{array}{l}∴sin2x=2sinxcosx=-\frac{24}{25}…（8分）\\ cos2x=2{cos^2}x-1=-\frac{7}{25}…（10分）\\∴sin（{2x+\frac{π}{6}}）\\=sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}\\=-\frac{24}{25}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{7}{25}×\frac{1}{2}\\=-\frac{{24\sqrt{3}+7}}{50}…（14分）\end{array}$

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．