Question

11．平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線l與曲線y=e^x交于不同的A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作y軸的平行線與曲線y=$\sqrt{2}$lnx交于C，D兩點(diǎn)，則直線CD的斜率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），則直線CD的斜率k_CD=$\frac{\sqrt{2}（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，根據(jù)A、B為直線l與曲線y=e^x交點(diǎn)可得kx₁=e${\;}^{{x}_{1}}$，kx₂=e${\;}^{{x}_{2}}$，兩邊取對數(shù)后代入斜率公式即可求得答案．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
則C（x₁，$\sqrt{2}$lnx₁），D（x₂，$\sqrt{2}$lnx₂），
可得kx₁=e${\;}^{{x}_{1}}$⇒x₁=lnkx₁，kx₂=e${\;}^{{x}_{2}}$⇒x₂=lnkx₂，
則直線CD的斜率k_CD=$\frac{\sqrt{2}（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{lnk{x}_{2}-lnk{x}_{1}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與曲線的位置關(guān)系及直線斜率的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．