Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A（a，a），P是曲線C：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上一動點
（1）求證：曲線C在點P處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為定值；
（2）當(dāng)點P，A之間的最短距離為2$\sqrt{2}$時，求a的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上任意一點的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合點P的坐標(biāo)，可得切線的方程，聯(lián)立曲線的方程，進而可得直線在x、y軸上的截距，由三角形面積公式，計算可得答案，進而證明結(jié)論成立；
（2）設(shè)點P（m，$\frac{1}{m}$），利用兩點間的距離公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的值．

解答 解：（1）證明：設(shè)曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上任意一點的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），
由函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得切線的方程是 y-y₀=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
由x₀y₀=1，可以得出切線在x軸與y軸的截距分別是
x₀+x₀²y₀=2x₀，y₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{2}{{x}_{0}}$，
根據(jù)三角形的面積公式可得，S=$\frac{1}{2}$•|2x₀•$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．
可得曲線C在點P處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為定值2；
（2）設(shè)點P（m，$\frac{1}{m}$），則|PA|=$\sqrt{（m-a）^{2}+（\frac{1}{m}-a）^{2}}$
=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}-2a（m+\frac{1}{m}）+2{a}^{2}}$=$\sqrt{（m+\frac{1}{m}）^{2}-2a（m+\frac{1}{m}）+2{a}^{2}-2}$，
令t=m+$\frac{1}{m}$，∵m＞0，∴t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①當(dāng)a≤2時，t=2時g（t）取得最小值g（2）=2-4a+2a²=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=-1；
②當(dāng)a＞2時，g（t）在區(qū)間[2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，
即有t=a，g（t）取得最小值g（a）=a²-2=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=$\sqrt{10}$．
綜上可知：a=-1或$\sqrt{10}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查了兩點間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．