Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-mx，直線l₁∥l₂，l₁與函數(shù)f（x）圖象切于點A、交于點B，l₂與函數(shù)f（x）圖象切于點C、交于點D．
（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若四邊形ABCD為矩形，求m的取值范圍；
（3）若四邊形ABCD為正方形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，f（x₁）），C（x₂，f（x₂）），求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運用兩直線平行的條件，可得斜率相等，求得l₁的方程，聯(lián)立函數(shù)，解方程可得B的坐標，運用對稱思想，即可得證；
（2）若四邊形ABCD為矩形，即有AB⊥AD，即為k_AB•k_AD=-1，運用直線的斜率公式，化簡整理可得21x₁⁴-10mx₁²+m²+1=0，令t=x₁²，則21t²-10mt+1+m²=0，運用方程有正數(shù)解的條件，解不等式即可得到所求范圍；
（3）四邊形ABCD為正方形，則AB⊥AD，且AC⊥BD，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程即可得到所求m的值．

解答 解：（1）證明：設(shè)A（x₁，f（x₁）），C（x₂，f（x₂）），
由函數(shù)f（x）=x³-mx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-m，
又線l₁∥l₂，可得在x=x₁處的切線和x=x₂處的切線的斜率相等，
即為3x₁²-m=3x₂²-m，化簡可得x₂=-x₁，
即有C（-x₁，f（-x₁）），即A，C關(guān)于原點對稱，
可設(shè)l₁的方程為y-f（x₁）=（3x₁²-m）（x-x₁），
聯(lián)立函數(shù)y=x³-mx，消去y，可得，（x-x₁）²（x+2x₁）=0，
解得x=x₁，或x=-2x₁，
即有B（-2x₁，f（-2x₁）），
將x₁，換為-x₁，可得D（2x₁，f（2x₁）），
即B，D關(guān)于原點對稱，可得四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若四邊形ABCD為矩形，即有AB⊥AD，
即為k_AB•k_AD=-1，即$\frac{f（{x}_{1}）-f（-2{x}_{1}）}{3{x}_{1}}$•$\frac{f（{x}_{1}）-f（2{x}_{1}）}{-{x}_{1}}$=-1，
化簡可得（3x₁²-m）（7x₁²-m）=-1，
即為21x₁⁴-10mx₁²+m²+1=0，
令t=x₁²，則21t²-10mt+1+m²=0，（*）
由（*）有正數(shù)解，可得1+m²＞0，$\frac{5m}{21}$＞0，△=100m²-4×21（1+m²）≥0，
解得m≥$\frac{\sqrt{21}}{2}$；
（3）四邊形ABCD為正方形，則AB⊥AD，且AC⊥BD，
由AB⊥AD，由（2）可得21x₁⁴-10mx₁²+m²+1=0，①
由AC⊥BD，可得k_AC•k_BD=-1，
即有$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$•$\frac{f（-2{x}_{1}）}{-2{x}_{1}}$=-1，化簡可得4x₁⁴-5mx₁²+m²+1=0，②
由①②解得x₁²=$\frac{5}{17}$m，代入①，可得m=$\frac{17}{6}$（負的舍去）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查兩直線平行和垂直的條件，同時考查四邊形為平行四邊形和矩形、正方形的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．