Question

11．已知三棱錐P-ABC如圖所示，平面PAC⊥平面ABC，正三角形ABC的面積為9$\sqrt{3}$，PC=4，PA=2$\sqrt{13}$，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{43}$
• B． $\sqrt{43}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． 2$\sqrt{11}$

Answer 1

分析 由點(diǎn)到直線的垂線段最短可知，當(dāng)M是AB的中點(diǎn)時(shí)，PM的長(zhǎng)最小，解得即可．

解答 解：當(dāng)M是AB的中點(diǎn)時(shí)，PM的長(zhǎng)最小．
∵正三角形ABC的面積為9$\sqrt{3}$，
∴正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，
∵PC=4，PA=2$\sqrt{13}$，
∴4²+6²=（2$\sqrt{13}$）²，
∴∠PCA=90°
∵取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)CM、PM，
由平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°得，PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，PC=4，∴AB⊥CM，
∵PC∩CM=C，∴AB⊥平面PCM，∴AB⊥PM，
故此時(shí)PM的長(zhǎng)最�。�
∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，PC=4，
∴CM=3$\sqrt{3}$，PM=$\sqrt{27+16}$=$\sqrt{43}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，考查點(diǎn)到直線的垂線段最短等知識(shí)，屬于中檔題．