Question

11．已知三棱錐P-ABC如圖所示，平面PAC⊥平面ABC，正三角形ABC的面積為9$\sqrt{3}$，PC=4，PA=2$\sqrt{13}$，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{43}$
• B． $\sqrt{43}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． 2$\sqrt{11}$

Answer 1

分析 由點到直線的垂線段最短可知，當(dāng)M是AB的中點時，PM的長最小，解得即可．

解答 解：當(dāng)M是AB的中點時，PM的長最�。�
∵正三角形ABC的面積為9$\sqrt{3}$，
∴正三角形ABC的邊長為6，
∵PC=4，PA=2$\sqrt{13}$，
∴4²+6²=（2$\sqrt{13}$）²，
∴∠PCA=90°
∵取AB的中點M，連結(jié)CM、PM，
由平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°得，PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又△ABC是邊長為6的正三角形，PC=4，∴AB⊥CM，
∵PC∩CM=C，∴AB⊥平面PCM，∴AB⊥PM，
故此時PM的長最�。�
∵△ABC是邊長為6的正三角形，PC=4，
∴CM=3$\sqrt{3}$，PM=$\sqrt{27+16}$=$\sqrt{43}$．
故選B．

點評 本題主要考查面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，考查點到直線的垂線段最短等知識，屬于中檔題．