Question

15．（1）求在區(qū)間[-3，3]上隨機取一個數(shù)x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|，（a＞0），若f（3）＜5，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）本題利用幾何概型求概率．先解絕對值不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間[-3，3]的長度求比值即得；
（2）f（3）＜5，即|3+$\frac{1}{a}$|+|3-a|＜5，再分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）由|x+1|-|x-2|≥1可得
x＜-1時，-x-1+x-2≥1，無解；
-1≤x≤2時，x+1+x-2≥1，
解得：x≥1，
∴1≤x≤2；
x＞2時，x+1-x+2≥1，
解得：x＞2，
∴滿足區(qū)間[-3，3]上的解集為[1，3]，
所以概率P=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
（2）在函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|，（a＞0），
由f（3）＜5，可得|3+$\frac{1}{a}$|+|3-a|＜5，其中a＞0，
下面對a進(jìn)行分類討論，
①a＞3時，f（3）=3+$\frac{1}{a}$+a-3＜5，可以解得3＜a＜$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$；
②0＜a≤3時，f（3）=3+$\frac{1}{a}$+3-a＜5，可以解得$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜a≤3，
綜上，$a∈（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}}）$

點評 本題主要考查了幾何概型的定義與應(yīng)用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．