Question

2．設直線l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）與圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）交于A，B兩點，C為圓心，當實數(shù)m變化時，△ABC面積的最大值為4，則mr²=-4或-14．

Answer 1

分析 求出圓心C到直線l的距離，利用勾股定理求出弦長，計算△ABC的面積，從而求出直線的斜率與方程．

解答 解：直線l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R），
直線l的方程可化為：（-x+y）+m（x+2y+3）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+2y+3=0}\end{array}\right.$，
直線恒過：（-1，-1）．
圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）的圓心（1，0），半徑為：r．
圓心C到直線l的距離為：d=$\frac{|m-1+3m|}{\sqrt{（m-1）^{2}+（2m+1）^{2}}}$=$\frac{|4m-1|}{\sqrt{5{m}^{2}+2m+2}}$；
所以三角形ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}•|AB|•d$≤$\frac{1}{2}$r²，$\frac{1}{2}{r}^{2}$=4，
解得r=2$\sqrt{2}$，此時d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$=2．
所以$\frac{|4m-1|}{\sqrt{5{m}^{2}+2m+2}}$=2，
解得m=$-\frac{1}{2}$或m=-$\frac{7}{2}$
所以，mr²=-4或-28．
故答案為：-4或-28．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應用問題，考查了勾股定理的應用問題，是綜合性題目．