Question

5．已知數(shù)列{a_n}•{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．可得：b_n=（b_n+1）b_n+1，化為：$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=1．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）$\frac{{2}^{n}}{_{n}}$=n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
∴b_n=（b_n+1）b_n+1，化為：$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=1．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴$\frac{1}{_{n}}$=1+（n-1）=n，
可得b_n=$\frac{1}{n}$．
（II）$\frac{{2}^{n}}{_{n}}$=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．