Question

10．銳角△ABC中，a+b=2c（cosA+cosB）且c=$\sqrt{3}$，則ab的取值范圍是（0，3$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，與已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）聯(lián)立，可求得2sin（B-C）=0，解得b=c，由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得ab=6cosC，求得范圍$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{2}$，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求cosC∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），從而可求ab的取值范圍．

解答 解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵2c（cosA+cosB）=a+b，
∴利用正弦定理可得：sinA+sinB=2sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA+2sinCcosB，
∴sinA=sin（C-B）+2sinCcosB，
在△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sin（C-B）+2sinCcosB，
即sinBcosC+cosBsinC=sin（C-B）+2sinCcosB，
∴sinBcosC=sin（C-B）+sinCcosB，
∴sin（B-C）=sin（C-B）=-sin（B-C），
∴2sin（B-C）=0，
∵B，C為銳角，可解得B=C，b=c，
∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，A=π-2C，c=$\sqrt{3}$，
∴ab=ac=（2R）²sinAsinC=（$\frac{c}{sinC}$）²sin（π-2C）sinC=（$\frac{c}{sinC}$）²sin2CsinC=2c²cosC=6cosC，
又∵銳角△ABC中，A=π-2C，可得：$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{2}$，cosC∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴ab=6cosC∈（0，3$\sqrt{2}$）．
故答案為：（0，3$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求得2sin（B-C）=0是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，屬于中檔題．