Question

2．設(shè)f（x）=asin2x+bcos2x，a、b∈R，ab≠0，若f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）對(duì)一切x∈R恒成立，則
①f（$\frac{11π}{12}$）=0；
②f（$\frac{7π}{10}$）＜f（$\frac{π}{5}$）；
③f（x）是奇函數(shù)；
④f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，（k∈Z）
以上結(jié)論正確的是①②④．

Answer 1

分析 先將f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，變形為f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+∅），再由f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）對(duì)一切x∈R恒成立得a，b之間的關(guān)系，然后順次判斷命題真假．

解答 解：①f（x）=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+∅），
由f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）對(duì)一切x∈R恒成立得f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{2}$，
即$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$+$\frac{2}$，
兩邊平方整理得：a=$\sqrt{3}$b＞0．
∴f（x）=$\sqrt{3}$bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+$\frac{π}{6}$）．
①f（$\frac{11π}{12}$）=2bsin（$\frac{11π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=0，故①正確；
②由f（$\frac{7π}{10}$）=$2bsin（2×\frac{7π}{10}+\frac{π}{6}）=2bsin$（$π+\frac{17π}{30}$）＜0，
而f（$\frac{π}{5}$）=2bsin（$\frac{17π}{30}$）=2bsin$\frac{17π}{30}$＞0，可得f（$\frac{7π}{10}$）＜f（$\frac{π}{5}$）成立，故②正確．
③f（-x）≠±f（x），所以f（x）為非奇非偶函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$x∈[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$故④正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）=2bsin（2x+$\frac{π}{6}$）是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，考查推理分析與運(yùn)算能力，屬于難題．