Question

14．已知函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx，其中ab≠0．
（1）已知ω=2，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（$\frac{π}{4}$，2）和點（$\frac{π}{2}$，-2）．
①求y=f（x）的解析式；
②將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，再把所得圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若方程g（|x|）=m在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有且只有2個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）已知ω=1，且函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取最大值，當實數(shù)a，b滿足（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=1時，求tan（$\frac{π}{4}$-x₀）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由ω=2，再根據(jù)f（x）的圖象經(jīng)過點（$\frac{π}{4}$，2）和點（$\frac{π}{2}$，-2），求得a，b的值，代入后利用輔助角公式整理得答案；
②由已知的伸縮變換和平移變換得到函數(shù)g（x）的圖象，畫出圖形，數(shù)形結合得到滿足條件的m的范圍；
（2）由f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}sin（x+θ）$（tanθ=$\frac{a}$），可得${x}_{0}=\frac{π}{2}+2kπ-θ，k∈Z$，由直線和圓相切求得tanθ=$\frac{a}$∈[0，$\sqrt{3}$]，則0$≤θ≤\frac{π}{3}$．
代入tan（$\frac{π}{4}$-x₀）整理后可得tan（$θ-\frac{π}{4}$）的范圍．

解答 解：（1）①由ω=2，可得f（x）=asin2x+bcos2x，再根據(jù)f（x）的圖象經(jīng)過點（$\frac{π}{4}$，2）和點（$\frac{π}{2}$，-2），
可得 a=2，-b=-2，即a=2，b=2，∴f（x）=2sin2x+2cos2x=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
②將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再把所得圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（2x-$\frac{π}{4}$） 的圖象，
若方程g（|x|）=m在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有且只有2個不同的實根，
則g（|x|）=2sin（2|x|-$\frac{π}{4}$）的圖象和直線y=m在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有且只有2個交點，如圖．
故-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，或 m=2．
（2）∵已知ω=1，故f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}sin（x+θ）$（tanθ=$\frac{a}$），
∴當$x+θ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即$x=\frac{π}{2}+2kπ-θ，k∈Z$時f（x）取得最大值．
由函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取最大值，∴${x}_{0}=\frac{π}{2}+2kπ-θ，k∈Z$．
當實數(shù)a，b滿足（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=1時，點A（a，b）在以C（$\sqrt{3}$，1）為圓心，半徑等于1的圓上，
設過原點的直線方程為y=kx，由點C（$\sqrt{3}$，1）到直線kx-y=0的距離等于1，得$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0或k=$\sqrt{3}$．
∴tanθ=$\frac{a}$∈[0，$\sqrt{3}$]，則0$≤θ≤\frac{π}{3}$．
∴tan（$\frac{π}{4}$-x₀）=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{2}-2kπ+θ$）=tan（$θ-\frac{π}{4}$），
∵0$≤θ≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{4}≤θ-\frac{π}{4}≤\frac{π}{12}$，
則tan（$θ-\frac{π}{4}$）∈[-1，2$-\sqrt{3}$]．

點評 本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質，考查了三角函數(shù)的圖象平移問題，考查數(shù)形結合的解題思想方法和數(shù)學轉化思想方法，對于（2）的求解，正確理解題意是關鍵，屬中高檔題．