Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，設(shè)，

（1）求證：為定值

（2）是否存在平行于軸的定直線(xiàn)被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出該直線(xiàn)方程和弦長(zhǎng)，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理即可求解；（2）假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)，設(shè)出直線(xiàn)方程，利用圓的性質(zhì)求解是否符合題意即可.

試題解析：（1）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，，，因此(定值)，

當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，

∴，因此有為定值；（2）設(shè)存在直線(xiàn)：滿(mǎn)足條件，則的中點(diǎn)，，因此以為直徑的圓的半徑，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，∴所截弦長(zhǎng)為

，當(dāng)即時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2，這時(shí)直線(xiàn)方程為.

【思路點(diǎn)睛】求解定值問(wèn)題的方法一般有兩種：1.從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線(xiàn)，再證明定點(diǎn)、定值、定線(xiàn)與變量無(wú)關(guān)；2.直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線(xiàn).應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.