Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，給出下列結(jié)論：
①f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）；
②函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k（k∈R）至少有一個公共點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x³-2x²+x的圖象有三個公共點(diǎn)，
其中正確的序號是①③．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷①，根據(jù)函數(shù)的圖象判斷②③．

解答 解：f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
故①正確；
顯然f（x）＞0，k＜0時，顯然不成立，
故②錯誤；
y=x³-2x²+x=x（x-1）²，
y′=（3x-1）（x-1），
函數(shù)在（-∞，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
畫出函數(shù)f（x）和y=x³-2x²+xd的圖象，如圖示：
，
圖象有3個交點(diǎn)，
故③正確；
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．