13.如圖,過圓E外一點A作一條直線與圓E交于B,C兩點,且AB=$\frac{1}{3}$AC,作直線AF與圓E相切于點F,連結(jié)EF交BC于點D,已知圓E的半徑為2,∠EBC=30°.
(Ⅰ)求AF的長;
(Ⅱ)求$\frac{ED}{AD}$的值.

分析 (Ⅰ)可延長BE并交圓E于M,并連接CM,從而畫出圖形,根據(jù)條件便可求出BC的長,進而求出AC的長,從而根據(jù)切割線定理求出AF的長;
(Ⅱ)可過E作EH⊥BC,從而可得出△EDH與△ADF相似,從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$,再根據(jù)題意即可得出EH的長,從而便可求出$\frac{ED}{AD}$的值.

解答 解:(Ⅰ)如圖,延長BE交圓E于點M,連結(jié)CM,則∠BCM=90°,

又BM=2BE=4,∠EBC=30°,所以$BC=2\sqrt{3}$,
又$AB=\frac{1}{3}AC$,可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$,所以$AC=3\sqrt{3}$.
根據(jù)切割線定理得$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$,即AF=3.
(Ⅱ)過E作EH⊥BC于H,則△EDH∽△ADF,從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$,

又由題意知$BH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3},BE=2$
所以EH=1,
因此$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$.

點評 考查直徑所對圓周角為直角,三角函數(shù)定義,以及切割線定理,三角形相似的判定,相似三角形的對應(yīng)邊的比例關(guān)系.

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