Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E，F(xiàn)分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，G為CC₁上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AF，EG所成角最小時(shí)，F(xiàn)G與平面AA₁BB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，以AC，AB，AA₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)G（2，0，a），求出AF，EG所成角的余弦關(guān)于a的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出此函數(shù)的極大值點(diǎn)為a=0，即G與C重合．然后使用定義求出線面角的余弦值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AC，AB，AA₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（0，0，0），E（0，1，0），F(xiàn)（0，2，1），設(shè)G（2，0，a），（0≤a≤2）．
則$\overrightarrow{AF}$=（0，2，1），$\overrightarrow{EG}$=（2，-1，a）．
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EG}$=a-2，|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{EG}$|=$\sqrt{5+{a}^{2}}$
∴cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{EG}$＞=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{EG}|}$=$\frac{a-2}{\sqrt{5}•\sqrt{5+{a}^{2}}}$．
∴AF，EG所成角的余弦值為$\frac{2-a}{\sqrt{5}\sqrt{{a}^{2}+5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+5}}$．
令f（a）=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+5}$，則f′（a）=$\frac{4{a}^{2}+2a-20}{（{a}^{2}+5）^{2}}$．
令f′（a）=0，解得a=-$\frac{5}{2}$或a=2．
∴當(dāng)0≤a≤2時(shí)，f′（a）≤0，f（a）在[0，2]上是減函數(shù)．
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（a）取得最大值，即AF，EG所成角的余弦值最大，AF，EG所成角最�。�
當(dāng)a=0時(shí)，G與C重合．連結(jié)FC，則∠AFC為FG與平面AA₁BB₁所成的角．
∵BC=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{5}$，CF=$\sqrt{B{C}^{2}+B{F}^{2}}$=3，
∴cos∠AFC=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．