Question

7．已知點F是拋物線C：y²=x的焦點，點S是拋物線C上在第一象限內(nèi)的一點，且|SF|=$\frac{5}{4}$．以S為圓心的動圓與x軸分別交于兩點A、B，延長SA，SB分別交拋物線C于M，N兩點．
（1）當(dāng)|AB|=2時，求圓S的方程；
（2）證明直線MN的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已條件推導(dǎo)出|SF|=x₀+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，由此能求出S點的坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可求圓S的方程；
（2）設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），由直線與拋物線方程聯(lián)立，求出M點坐標(biāo)，設(shè)直線SB的斜率為-k，同理求出N點坐標(biāo)，由此能求出直線MN的斜率．

解答 解：（1）設(shè)S（x₀，y₀）（y₀＞0），
∵點F是拋物線C：y²=x的焦點，
S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點，且|SF|=$\frac{5}{4}$．
∴F（$\frac{1}{4}$，0），∴|SF|=x₀+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴x₀=1，∴y₀=1
∴S點的坐標(biāo)為（1，1）．…（4分）
設(shè)圓S的半徑為r，則$r=\sqrt{{1^2}+{{（\frac{1}{2}AB）}^2}}=\sqrt{2}$，
故圓S的方程為：（x-1）²+（y-1）²=2…（6分）
（2）設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
由直線與拋物線方程聯(lián)立，得ky²-y+1-k=0，
解得：y₁=1（舍），或y₁=$\frac{1}{k}$-1
∴M（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$-1）…（8分）
由已知|SA|=|SB|得，直線SA與SB的斜率互為相反數(shù)，
∴直線SB的斜率為-k，同理得N（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}$-1）…（10分）
∴k_MN=$\frac{\frac{1}{k}-1+\frac{1}{k}+1}{\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{2}$，即直線MN的斜率為定值-$\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題主要考查拋物線上滿足條件的點的坐標(biāo)的求法，考查直線的斜率的求法，考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識，屬于中檔題．