Question

8．對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+4）（a∈R）．
（1）若f（x）的定義域是R，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范圍；
（3）若f（x）的值域是（-∞，1]，求a的取值范圍；
（4）若f（x）在（-∞，3]上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的定義域為R，真數(shù)大于0恒成立，求出a的取值范圍即可；
（2）當(dāng)f（x）的值域是R時，真數(shù)取遍所有大于0的數(shù)，由此求出a的取值范圍；
（3）當(dāng)f（x）的值域是（-∞，1]時，真數(shù)大于或等于1恒成立，求出a的取值范圍；
（4）當(dāng)f（x）在（-∞，3]上為增函數(shù)時，應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{a}≥3}\\{9a-6+4＞0}\end{array}\right.$，由此求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+4）（a∈R），
當(dāng)f（x）的定義域為R時，ax²-2x+4＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-16a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{4}$，
∴a的取值范圍是{a|a＞$\frac{1}{4}$}；
（2）當(dāng)f（x）的值域是R時，有a=0時，滿足條件；
又$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-16a≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{4}$，滿足條件；
∴a的取值范圍是{a|0≤a≤$\frac{1}{4}$}；
（3）當(dāng)f（x）的值域是（-∞，1]時，ax²-2x+4≥$\frac{1}{2}$恒成立，
∴ax²-2x+$\frac{7}{2}$≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-14a≤0}\end{array}\right.$，
解得a≥$\frac{2}{7}$，
∴a的取值范圍是{a|a≥$\frac{2}{7}$}；
（4）當(dāng)f（x）在（-∞，3]上為增函數(shù)時，
應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{a}≥3}\\{9a-6+4＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$，
∴a的取值范圍是{a|$\frac{2}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$}．

點評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．