Question

15．某高校從今年參加自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取容量為n的學(xué)生成績樣本，得到頻率分布表如表：

組數(shù)	分組	頻數(shù)	頻率
第一組	[230，235）	8	0.16
第二組	[235，240）	p	0.24
第三組	[240，245）	15	q
第四組	[245，250）	10	0.20
第五組	[250，255]	5	0.10
合計		n	1.00

（1）求n，p，q的值；
（2）為了選拔出更加優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行第二輪考核，分別求第三、四、五組參加考核的人數(shù)；
（3）（理科）高校決定從第四組和第五組的學(xué)生中擇優(yōu)錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1人是第四組的概率．
（文科）在（2）的前提下，高校決定從這6名學(xué)生中擇優(yōu)錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1人是第四組的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出n，p，q的值．
（2）在第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行第二輪考核，能求出第三、四、五組參加考核的人數(shù)．
（3）（理）第四組有學(xué)生10人，第五組有學(xué)生5人，從中擇優(yōu)錄取2名學(xué)生，先求出基本事件總數(shù)，2人中至少有1人是第四組的對立事件是2人都是第五組的學(xué)生，由此能求出2人中至少有1人是第四組的概率．
（文）在（2）的前提下，高校決定從這6名學(xué)生中擇優(yōu)錄取2名學(xué)生，先求出基本事件總數(shù)，2人中至少有1人是第四組的對立事件是2人都不是第四組的學(xué)生，由此能求出2人中至少有1人是第四組的概率．

解答 解：（1）由題意得：$n=\frac{8}{0.16}=50$，
p=50×0.24=12，q=$\frac{15}{50}$=0.3．
（2）在第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行第二輪考核，
則第三組參加考核的人數(shù)為：6×$\frac{15}{15+10+5}$=3人，
第四組參加考核的人數(shù)為：6×$\frac{10}{15+10+5}$=2人，
第五組參加考核的人數(shù)為：6×$\frac{5}{15+10+5}$=1人．
（3）（理）第四組有學(xué)生10人，第五組有學(xué)生5人，
從中擇優(yōu)錄取2名學(xué)生，基本事件總數(shù)n=${C}_{15}^{2}$=105，
2人中至少有1人是第四組的對立事件是2人都是第五組的學(xué)生，
∴2人中至少有1人是第四組的概率p₁=1-$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{19}{21}$．
（文）在（2）的前提下，高校決定從這6名學(xué)生中擇優(yōu)錄取2名學(xué)生，
基本事件總數(shù)N=${C}_{6}^{2}$=15，
2人中至少有1人是第四組的對立事件是2人都不是第四組的學(xué)生，
∴2人中至少有1人是第四組的概率p₂=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率率、頻數(shù)、總數(shù)、概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意分層抽樣和對立事件概率計算公式的合理運用．