Question

關(guān)于x的方程log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（x+k）有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令y=log₂（1+x）+log₂（1-x），則函數(shù)y=log₂（1+x）+log₂（1-x）的定義域為為：（-1，1），若方程log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（x+k）有兩個不同的解，則log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（x+k）有兩個不同的解，即（1+x）（1-x）=x+k在（-1，1）上有兩個不同的解，即函數(shù)f（x）=x²+x+（k+1）在（-1，1）上有兩個零點，進(jìn)而可得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：令y=log₂（1+x）+log₂（1-x），
則函數(shù)y=log₂（1+x）+log₂（1-x）的定義域為為：（-1，1），
若方程log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（x+k）有兩個不同的解，
則log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（x+k）有兩個不同的解，
即（1+x）（1-x）=x+k在（-1，1）上有兩個不同的解，
即函數(shù)f（x）=x²+x+（k+1）在（-1，1）上有兩個零點，
由函數(shù)f（x）=x²+x+（k+1）的圖象是開口朝上，且以直線x=-

1

2

為對稱軸的拋物線，
故

f(1)＞0 f(-1)＞0 f(- 1 2 )＜0

，
即

k+3＞0 k+1＞0 k+ 3 4 ＜0

，
解得：k∈（-1，-

3

4

），
故答案為：（-1，-

3

4

）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，對數(shù)的運算性質(zhì)，其中將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x²+x+（k+1）在（-1，1）上有兩個零點，是解答的關(guān)鍵．