Question

已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為-1.

（1）求的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當時，；

（3）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當，恒有.

 

Answer 1

（1），極小值為無極大值；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求，再進一步求極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，即證；

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，對進行分類討論.

規(guī)律總結(jié)：這是一道典型的導(dǎo)函數(shù)問題，綜合性較強，要求我們要有牢固的基礎(chǔ)知識（包括函數(shù)的性質(zhì)、常見解題方法、數(shù)形結(jié)合等）.

試題解析：解法一：（1）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調(diào)遞減;當時, 單調(diào)遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值.

（2）令,則.由（1）得,故在R上單調(diào)遞增,又,因此,當時, ,即.

（3）①若,則.又由（2）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒有.

綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有.

解法二：（1）同解法一

（2）同解法一

（3）對任意給定的正數(shù)c，取

由（2）知，當x>0時，，所以

當時，

因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.