Question

設(shè)數(shù)列 {a_n} 中，a₁＝a，a_n＋1＋2a_n＝2^n＋1（n∈N*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）試問(wèn)數(shù)列 {a_n} 能為等比數(shù)列嗎？若能，試寫(xiě)出它的充要條件并加以證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解（Ⅰ），
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823210921338548.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，得   4分
（Ⅱ）方法一：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823210921400987.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
得：，
當(dāng)時(shí),,顯然成立;
當(dāng)時(shí),是以為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，
所以，得：

為等比數(shù)列為常數(shù)，易得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為常數(shù)。
方法二：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823210921400987.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即，故是以為首項(xiàng)，－2為公比的成等比數(shù)列，
所以，得：（下同解法一）
方法三：由前三項(xiàng)成等比得，進(jìn)而猜測(cè)，對(duì)于所有情況都成立，再證明。

略